Question

【题目】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．

（1）求证：△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（3）存在，P1（， ）、P2（，）

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。

（2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。

（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。

解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，

∴∠BCD＝∠OAC。

∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。

在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，

∴△BDC≌△COA（AAS）。

（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。

∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。

设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，

∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－x－。

（3）存在 。

∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝－。

若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，

∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。

由题意可得：， 解得，。∴P1（－，－）。

若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，

则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2，

∵CD＝OA，∴A（0，2）。

设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。

∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。

由题意可得：，解得，。∴P2（－，）。

∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，）。