Question

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、F．若OB=2，求OE和CF的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°．
∵∠ABD=2∠BDC，
∴∠BDC=∠ABD=30°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形．
∴∠ODB=60°．
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°． …
∵BD=OB=2，
∴DE=BE=BD=1．
∴OE==．
∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°，
∴CD=OD•tan60°=2，DF=OD•tan30°=．
∴CF=CD-DF=2-=．
分析：（1）首先连接OD，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，又由∠A=30°，∠ABD=2∠BDC，易证得△ODB是等边三角形，继而求得∠ODC=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）由三角函数的性质，即可求得CD与DF的长，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．