Question

14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．
（1）以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）（保留画图痕迹）
（2）求：①∠A′BC；②OA+OB+OC．

Answer 1

分析 （1）以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°即可得到△A′O′B．
（2）由旋转不变性可知：OA+OB+OC=CO+OO′+O′A′，所以只要证明C、O、O′、A′共线，则CA′=OA+OB+OC，在RT△BCA′中利用勾股定理即可求出CA′．

解答 解：（1）如图所示：
（2）∵△A′BO′是由△ABO顺时针旋转60°得到，
∴△OBO′，△ABA′是等边三角形，A′O′=AO
∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OB=OO，∠ABA′=60°，
∵∠BOC=∠AOB=∠BO′A′=120°，
∴∠BOC+∠BOO′=180°，∠BO′O+∠AO′B=180°，
∴C、O、O′、A′共线，
∴AO+OB+OC=CO+OO′+A′O′=CA′，
在RT△ABC中，∵∠ABC=30°，AC=1，
∴AB=BA′=2，BC=$\sqrt{3}$，
∴∠CBA′=∠ABC+∠ABA′=90°，
∴CA′=$\sqrt{B{C}^{2}+BA{′}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴OA+OB+OC=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查含有30度角的直角三角形的性质、等边三角形性质、旋转不变性、共线问题等知识，解题的关键是把不在同一直线上的三条线段转化为同一直线上的三条线段．