题目内容

求证：如果两个三角形的两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．

已知：如图，在△ABC和△中，AB＝，AC＝，M是BC中点，是中点，且AM＝．

求证：△ABC≌△．

答案：
解析：

　　证明：延长AM至N，使得AM＝MN；再延长至，使得＝，连结BN、，则在△AMC和△NMB中

　　

　　∴△AMC≌△NMB，

　　∴AC＝BN．

　　同理＝．

　　∴BN＝．

　　在△ABN和△中，

　　

　　∴△ABN≌△，

　　∴∠1＝∠3．

　　同理∠2＝∠4．

　　∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4．

　　即∠BAC＝∠．

　　在△ABC和△中，

　　

　　∴△ABC≌△．


提示：

点拨：当存在三角形一边的中线的条件时，经常延长中线，得到二倍关系．本例题也常常用来判断两个三角形是否全等．


练习册系列答案
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我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
（1）选择：如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为
 
；
（A）2、点P，（B）
1
2
、点P，（ C）2、点O，（D）
1
2
、点O；
（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形．阅读后证明相应问题精英家教网．
画法：
①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得
到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
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，请直接写出△ABC的面积．

下面的证明过程，看是否有错，若有错，指出错误的地方．(说明理由)，并加以改正，(写出正确的证明过程)．

求证：如果两个三角形中，有两边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．

已知：如图，AD、分别是△ABC和△的中线，且AB＝，BC＝，AD＝求证：△ABC≌△

证明：∵BD＝BC，＝，BD＝

∴在△ABC与△中，∴△ABD≌△(SSS)

同理：△ADC≌△(SSS)，∴△ABD＋△ADC≌△＋△，即△ABC≌△

证明题

求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别对应相等，那么这两个三角形全等．(提示：首先分清题设和结论，画出图形，再结合图形写出“已知”、“求证”、“证明”)

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