题目内容

（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得
到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
14
，请直接写出△ABC的面积．
分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=
1
2
AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S△AOB=S△AOE．
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE=S△FOB，
∴S△AOD=S△ABF，
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2×
1
2
×4×3=12．

探究：
解：分为两种情况：①如图1，

∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=
1
2
AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=
1
2
AB=
1
2
×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
1
4
，
∴S△DOC=
1
4
S△ABC=
1
2
S△BDC=
1
2
S△ADC=
1
2
S△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=
1
2
AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=
42-22
=2
3
，
∴△ABC的面积是
1
2
×BC×AC=
1
2
×2×2
3
=2
3
；
②如图2，

∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=
1
2
AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=
1
2
AB=
1
2
×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的
1
4
，
∴S△DOC=
1
4
S△ABC=
1
2
S△BDC=
1
2
S△ADC=
1
2
S△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴BD=A′C=2，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=
1
2
A′C=1，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2×
1
2
×A′D×CQ=2×
1
2
×2×1=2；
即△ABC的面积是2或2
3
．
点评：本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．
练习册系列答案
相关题目
（2013•沈阳）下面的计算一定正确的是（　　）
（2013•沈阳）若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是
a＜4
a＜4
．
（2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．
（1）求证：ON是⊙A的切线；
（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
（2013•沈阳模拟）2012年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，33，30，33，31，则下列表述错误的是
（　　）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网