Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点E，D分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB，垂足为点Q，交AC于点H．当点E到达顶点B时，Q，P同时停止运动，则当△HDE为等腰三角形时，BP的值为$\frac{40}{21}$或$\frac{40}{11}$或5或$\frac{320}{103}$．

Answer 1

分析 ①如图1，当0＜x≤2.5时，若DE=DH，根据DH=AH=$\frac{QA}{cos∠A}$=$\frac{5}{4}x$，列出方程解决，显然ED=EH、HD=HE不可能．
②如图2中，当2.5＜x≤5时，若DE=DH，则4x-10=$\frac{5}{4}x$，解方程即可；若HD=HE，此时点D、E分别与点B、A重合，x=5；若DE=EH，由△EDH∽△HDA得$\frac{ED}{DH}=\frac{DH}{AD}$，列出方程求解．

解答 解：①如图1，当0＜x≤2.5时，若DE=DH，
∵DH=AH=$\frac{QA}{cos∠A}$=$\frac{5}{4}x$，ED=10-4x，
∴10-4x=$\frac{5}{4}x$，
∴X=$\frac{40}{21}$，
显然ED=EH、HD=HE不可能．

②如图2中，当2.5＜x≤5时，若DE=DH，
则4x-10=$\frac{5}{4}x$，x=$\frac{40}{11}$，
若HD=HE，此时点D、E分别与点B、A重合，x=5，
若DE=EH，∵∠EDH=∠ADH=∠A=∠EHD
∴△EDH∽△HDA
∴$\frac{ED}{DH}=\frac{DH}{AD}$，
即$\frac{4x-10}{\frac{5}{4}x}=\frac{\frac{5}{4}x}{2x}$，解得x=$\frac{320}{103}$．

故答案为$\frac{40}{21}$或$\frac{40}{11}$或5或$\frac{320}{103}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，学会分类讨论是解决问题的关键，题目难度比较大，属于中考压轴题．