Question

16．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状．
先阅读下列解题过程：
解：因为a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，①
所以c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²）．②
所以c²=a²+b²．③
所以△ABC为直角三角形．④
问：（1）上述推理过程中，出现错误的两步是③④；
（2）本题的正确结论是△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

Answer 1

分析 将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．

解答 解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
移项得：c²（a²-b²）-（a²+b²）（a²-b²）=0，
因式分解得：（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
则当a²-b²=0时，a=b；当a²-b²≠0时，a²+b²=c²；
所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
∴（1）上述推理过程中，出现错误的两步是③④；
（2）本题的正确结论是△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．
故答案为：③④，△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

点评 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．