Question

【题目】如图，已知△ABC，以AC为底边作等腰△ACD，且使∠ABC=2∠CAD，连接BD．

（1）如图1，若∠ADC=90°，∠BAC=30°，BC=1，求CD的长；

（2）如图1，若∠ADC=90°，证明：AB+BC=BD；

（3）如图2，若∠ADC=60°，探究AB，BC，BD之间的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质和已知求出CD的长；

（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，证明△AED≌△CFD，得到DE=DF，AE=CF，根据正方形的性质证明结论；

（3）延长BC至G，使CG=AB，证明△DAB≌△DCG，得到△DBG是等边三角形，得到答案．

解：（1）∵∠ADC=90°，DA=DC，

∴∠CAD=45°，

∴∠ABC=2∠CAD=90°，又∠BAC=30°，

∴AC=2BC=2，

∴CD=AC×sin∠CAD=；

（2）作DE⊥AB于E，DF⊥BC交BC的延长线于F，

∵∠ADC=90°，DA=DC，

∴∠CAD=45°，

∴∠ABC=2∠CAD=90°，

∴四边形DEBF是矩形，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BAD=∠FCD，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD，

∴DE=DF，AE=CF，

∵四边形DEBF是矩形，DE=DF，

∴四边形DEBF是正方形，

∴BE=BF=BD，又AE=CF，

∴AB+BC=BE+BF=BD；

（3）BD=AB+BC．

延长BC至G，使CG=AB，

∵∠ADC=60°和等腰△ACD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ABC=2∠CAD=120°，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BAD=∠GCD，

在△DAB和△DCG中，

，

∴△DAB≌△DCG，

∴DB=DG，∠CDG=∠ADB，又∠ADB+∠BDC=60°，

∠CDG+∠BDC=60°，

∴△DBG是等边三角形，

∴BD=BG=AB+BC．