Question

7．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x²-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x²-6x+8=0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x²-3x+c=0是“倍根方程”，则c=2；
（2）若（x-2）（mx-n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m²-5mn+n²的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程x²-3x+c=0是“倍根方程”，得到x₁+2x₁=3，2x₁²=c，即可得到结论；
（2）解方程（x-2）（mx+n）=0（m≠0）得，x₁=2，${x_2}=\frac{n}{m}$．2由方程两根是2倍关系，得到x₂=1或43，代入解方程即可得到结论；
（3）根据“倍根方程”的概念得到原方程可以改写为a（x-t）（x-2t）=06，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²-3x+c=0是“倍根方程”，
∵x₁+x₂=3，x₁x₂=c，即x₁+2x₁=3，2x₁²=c，
∴c=2，
故答案为：2；
（2）解方程（x-2）（mx-n）=0（m≠0）得，x₁=2，${x_2}=\frac{n}{m}$．
∵方程两根是2倍关系，
∴x₂=1，
当x₂=1时，${x_2}=\frac{n}{m}=1$，即m=n，
代入代数式4m²-5mn+n²=0，
当x₂=4时，${x_2}=\frac{n}{m}=4$，即n=4m，
代入代数式4m²-5mn+n²=0．
综上所述，4m²-5mn+n²=0；
（3）根据“倍根方程”的概念设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为t和2t．
∴原方程可以改写为a（x-t）（x-2t）=0，
∴ax²+bx+c=ax²-3atx+2at²，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{b=-3at}\\{c=2a{t^2}}\end{array}}\right.$．
解得2b²-9ac=0．
∴a，b，c之间的关系是2b²-9ac=0．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．