题目内容
已知Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠F=∠B=45°，AC=8cm，CF=10cm．如图②，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以
cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t≤5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上（结果精确到个位）？
（2）连接PE，四边形APEC的面积为S，用含有t的数学表达式表示S．当t为何值时，S的值为23；
（3）当t=
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（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上（结果精确到个位）？
（2）连接PE，四边形APEC的面积为S，用含有t的数学表达式表示S．当t为何值时，S的值为23；
（3）当t=
4
4
，面积S最小，S的最小值是20
20
．（提示：参考配方法）分析：（1）由条件可以得出AC=8
，当AP=AQ时由题意可以得出以AP=8
-
t，AQ=8-t，从而建立等两关系就可以求出t值．
（2）作PG⊥BC于G，则PG=
t，BE=8-t，S=S△ABC-S△PBE，就可以用t表示出S，把S=23代入解析式就可以求出t值．
（3）将（2）的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，就求出了t值和S的最小值．
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（2）作PG⊥BC于G，则PG=
| 3 |
| 2 |
（3）将（2）的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，就求出了t值和S的最小值．
解答：解：（1）∵∠ACB=∠EDF=90°，∠F=∠B=45°，
∴∠A=∠DEF=∠EQC=45°，
∴∠A=∠B=∠DEF=∠F=∠EQC，
∴AC=BC=8，DE=DF，QC=EC．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，由勾股定理，得
AB=8
，DE=DF=5
．
∵PB=
t，
∴AP═8
-
t，
∵EC=t，
∴CQ=t，
∴AQ=8-t，
∴8
-
t=8-t，
解得：t≈3．
（2）作PG⊥BC于G，且∠B=45°
∴PG=BG，
∵PB=
t，由勾股定理，得
PG=
t，
∵CE=t，
∴BE=8-t．
∴S△BPE=
=-
t2+6t，
S=
-（-
t2+6t），
=
t2-6t+32
当S=23时，23=
t2-6t+32，
解得t=2或6，
∵0＜t≤5，
∴t=2．
（3）∵S=
t2-6t+32
∴S=
（t-4）2+20
∴t=4时，S最小=20．
故答案为：4，20．
∴∠A=∠DEF=∠EQC=45°，
∴∠A=∠B=∠DEF=∠F=∠EQC，
∴AC=BC=8，DE=DF，QC=EC．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，由勾股定理，得
AB=8
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∵PB=
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∴AP═8
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∵EC=t，
∴CQ=t，
∴AQ=8-t，
∴8
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解得：t≈3．
（2）作PG⊥BC于G，且∠B=45°
∴PG=BG，
∵PB=
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PG=
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∵CE=t，
∴BE=8-t．
∴S△BPE=
| ||
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| 3 |
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S=
| 8×8 |
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| 3 |
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=
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当S=23时，23=
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解得t=2或6，
∵0＜t≤5，
∴t=2．
（3）∵S=
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∴S=
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∴t=4时，S最小=20．
故答案为：4，20．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用，三角形的面积的运用，二次函数的最值的运用等知识点．
练习册系列答案
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相切，D为切点，AD∥BC．
14、如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF不相似，其中∠C，∠F为直角，∠A＜∠D，能否分别将两个三角形分割成两个三角形，使△ABC所分的两个三角形与△DEF所分的两个三角形分别相似？如果能够，请设计一个分割方案；如果不能，请说明理由．
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