Question

如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求旋转角的度数；
（2）求点P与点P′之间的距离；
（3）求∠APB的度数．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理,旋转的性质

专题：

分析：（1）由∠BAC=60°可知旋转角的度数为60°；
（2）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋转角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；
（3）由△APP′为等边三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度数．

解答：解：（1）由∠BAC=60°可知旋转角的度数为60°；

（2）连接PP′，由题意可知AP′=AP=6，
∵旋转角的度数为60°，
∴∠PAP′=60°．
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′=AP=AP′=6；

（3）∵BP′=PC=10，BP=8，PP′=6，
∴PP′²+BP²=BP′²，
∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°
∴∠APB=∠BPP′+∠APP′=90°+60°=150°．

点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．