Question

【题目】如图1，在△ABC中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧；②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．

（1）填空：△ABC≌△ ；AC和BD的位置关系是

（2）如图2，当AB=BC时，猜想四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．

（3）在（2）的条件下，若AC=8cm，BD=6cm，则点B到AD的距离是 cm，若将四边形ABCD通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长为 cm．

Answer 1

【答案】（1）ADC（SSS），AC⊥BD；（2）四边形ABCD是菱形，见解析；（3），2.

【解析】

（1）根据作法和三角形全等的判定方法解答，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得AC⊥BD；

（2）根据四条边都相等的四边形是菱形证明；

（3）设点B到AD的距离为h，然后根据菱形的面积等于底边×高和菱形的面积等于对角线乘积的一半列方程求解即可；再根据正方形的面积公式和菱形的面积求解．

（1）由图可知，AB=AD，CB=CD，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∵AB=AD，

∴点A在BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，

∴点C在BD的垂直平分线上，

∴AC垂直平分BD，

∴AC⊥BD；

（2）四边形ABCD是菱形．

理由如下：由（1）可得AB=AD，CB=CD，

∵AB=BC，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四边形ABCD是菱形；

（3）设点B到AD的距离为h，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，且AO=CO=4，BO=DO=3，

在Rt△ADO中，AD==5，

S菱形ABCD=ACBD=ADh，

即×8×6=5h，

解得h=，

设拼成的正方形的边长为a，则a2=×8×6，

解得a=2cm．

所以，点B到AD的距离是cm，拼成的正方形的边长为2cm．