Question

15．如图，一次函数y=-x+m的图象与x和y分别交于点A和点B，与正比例函数y=$\frac{3}{2}$x图象交于点P（2，n）．
（1）求m和n的值；
（2）求△POB的面积；
（3）在直线OP上是否存在异与点P的另一点C，使得△OBC与△OBP的面积相等？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=2代入正比例函数y=$\frac{3}{2}$x中即可求出n值，由此即可得出点P的坐标，将点P的坐标代入一次函数y=-x+m中即可求出m值；
（2）将x=0代入一次函数解析式中即可求出点B的值，再根据三角形的面积公式即可求出△POB的面积；
（3）根据△OBC与△OBP的面积相等即可求出点C的横坐标，将其代入正比例函数y=$\frac{3}{2}$x中即可求出点C的纵坐标，此题得解．

解答 解：（1）∵点P（2，n）在正比例函数y=$\frac{3}{2}$x图象上，
∴n=$\frac{3}{2}$×2=3，
∴点P的坐标为（2，3）．
∵点P（2，3）在一次函数y=-x+m的图象上，
∴3=-2+m，解得：m=5，
∴一次函数解析式为y=-x+5．
∴m的值为5，n的值为3．
（2）当x=0时，y=-x+5=5，
∴点B的坐标为（0，5），
∴S_△POB=$\frac{1}{2}$OB•x_P=$\frac{1}{2}$×5×2=5．
（3）存在．
∵S_△OBC$\frac{1}{2}$OB•|x_C|=S_△POB=5，
∴x_C=-2或x_C=2（舍去）．
当x=-2时，y=$\frac{3}{2}$×（-2）=-3．
∴点C的坐标为（-2，-3）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点P的横坐标利用正比例函数图象上点的坐标特征求出n值；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点B的坐标；（3）根据△OBC与△OBP的面积相等求出点C的横坐标．