Question

5．如图所示，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D，且BC=15，求AB+AE的长．

Answer 1

分析 证明△ABE≌△DBE，则AE=DE，AB=BD，即可得到BE是线段AD的中垂线；根据AE=ED，以及△EDC是等腰直角三角形，即可得到AB+AE=BC，从而求解．

解答 解：在△ABE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠BDE}\\{BE=BE}\\{∠ABE=∠DBE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBE（ASA）．
∴AE=DE，AB=BD，
∴B和E在AD的中垂线上．
∴AD⊥BE；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴直角△EDC是等腰直角三角形，
∴DE=AE．
∴AB+AE=BD+DE=BD+DC=BC=15（cm）．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，理解线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，是关键．