Question

20．已知一个二次函数的图象与x轴有两个交点O、A，其中点O为坐标原点，且该函数图象经过点B（-1，-1）．
（1）若点B恰为该二次函数的图象的顶点，求点A的坐标；
（2）若OA=3，求该二次函数的最大值．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的顶点坐标可知对称轴为直线x=-1，再根据图象过坐标原点，利用二次函数的对称性即可求出点A的坐标；
（2）由二次函数的图象过原点O，可设此解析式为y=ax²+bx，把B（-1，-1）代入，得出a-b=-1．利用根与系数的关系得出A点横坐标为-$\frac{b}{a}$，再根据OA=3，得出|-$\frac{b}{a}$|=3，那么$\frac{b}{a}$=±3，即b=3a，或b=-3a．分别代入a-b=-1，利用二次函数的性质即可求解．

解答 解：（1）∵点B（-1，-1）为该二次函数的图象的顶点，
∴该二次函数的对称轴为直线x=-1，
∵二次函数的图象与x轴有两个交点O、A，其中点O为坐标原点，
∴点A的坐标是（-2，0）；

（2）∵二次函数的图象过原点O，
∴可设此解析式为y=ax²+bx，
∵该函数图象经过点B（-1，-1），
∴a-b=-1．
∵二次函数的图象与x轴有两个交点O、A，
∴A点横坐标为-$\frac{b}{a}$，
∵OA=3，
∴|-$\frac{b}{a}$|=3，
∴$\frac{b}{a}$=±3，
∴b=3a，或b=-3a．
当b=3a时，代入a-b=-1，得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，抛物线为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，开口向上，二次函数没有最大值；
当b=-3a时，代入a-b=-1，得a=-$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{4}$，抛物线为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x，开口向下，二次函数有最大值，最大值为$\frac{9}{16}$．
综上所述，若OA=3，该二次函数的最大值为$\frac{9}{16}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法，都是基础知识，需熟练掌握．本题难度适中．