Question

如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax²+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）．已知AM=BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．
①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；
②若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形．
①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出=；
②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ=25，利用这个关系式对进行分式的化简求值，结论为=不变．
解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴，
解得a=，c=-1．
∴二次函数的解析式为：y=x²+x-1．

（2）由二次函数的解析式为：y=x²+x-1，
令y=0，得x²+x-1=0，
解得x₁=-3，x₂=2，∴C（2，0），∴BC=5；
令x=0，得y=-1，∴M（0，-1），OM=1．
又AM=BC，∴OA=AM-OM=4，∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则y_D=x²+x-1=OA=4，
解得x₁=5，x₂=-6（位于第二象限，舍去）
∴D点坐标为（5，4）．
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（-3，0），D（5，4），
∴，
解得：k=，b=，
∴直线BD解析式为：y=x+．

（3）在Rt△AOB中，AB==5，又AD=BC=5，∴?ABCD是菱形．
①若直线l⊥BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴==；
②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴△PAD∽△DCQ，
∴，
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25．
∴
=
=
=
=
=
=．
点评：本题考查了二次函数压轴题，正确解答本题需要熟练掌握函数的图象与性质（二次函数与一次函数）、平面图形的性质与应用（平行四边形、菱形、相似三角形、平行线等）．本题涉及考点较多，虽有一点的难度，但相信不少考生均可顺利解答．第（3）问中，需要注意平行四边形ABCD是菱形，这样后续的计算均可迎刃而解．