Question

如图1，在直角坐标系中，反比例函数y=

k

x

(k＞0)的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，且点C坐标为（4，3），将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．
（1）求k的值；
（2）如图2，在直角坐标系中，P点坐标为（2，-3），请在双曲线上找两点M、N，使四边形OPMN是平行四边形，求M、N的坐标．

Answer 1

分析：（1）作出折叠后的草图，根据反比例函数解析式表示出点EF的坐标，过点E作EH⊥OB，可得△EGH∽△GFB，根据相似三角形的对应边成比例列式整理，然后在△GFB中利用勾股定理计算即可求出k值；
（2）利用反比例函数解析式设出点M的坐标，然后把平行四边形OPMN看作是边PM沿PO方向平移得到的，根据点P与点O对应关系，由点M的坐标表示出点N的坐标，然后再代入函数解析式，计算即可求解．

解答：解：（1）设E（

k

3

，3），F（4，

k

4

），
将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，
∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，
∴∠HEG=∠FGB，
又∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EGH∽△GFB（AA），
∴

EH

GB

=

EG

GF

，
代入解得：GB=

3×(3- k 4 )

(4- k 3 )

=

9

4

，
在Rt△GBF中，GF²=GB²+BF²，代入得(3-

k

4

)2=(

9

4

)2+(

k

4

)2，
解得k=

21

8

；


（2）平行四边形OPMN，可以看成线段PM沿PO的方向平移至ON处所得．
设M（a，

21

8a

），
∵P（2，-3）的对应点O（0，0），
∴N（a-2，

21

8a

+3），
代入反比例解析式得：（a-2）（ 

21

8a

+3）=

21

8

，
整理得4a²-8a-7=0，
解得：a=

2+ 11

2

，a=

2- 11

2

（舍去），

21

8a

=

21×2

8(2+ 11 )

=

3 11 -6

4

，

2+ 11

2

-2=

11 -2

2

，

3 11 -6

4

+3=

3 11 +6

4

，
所以M（

2+ 11

2

，

3 11 -6

4

），N（

11 -2

2

，

3 11 +6

4

）
或M（

11 -2

2

，

3 11 +6

4

）N（

2+ 11

2

，

3 11 -6

4

）．

点评：本题主要考查了反比例函数图形与性质，折叠对称的性质，以及平行四边形的性质，利用平移得到平行四边形从而把平行四边形的问题转化为点的平移进行求解是解答（2）的巧妙之处，希望同学们在解题时要开动脑筋，从多方位全面的考虑问题，此题难度较大，要仔细计算．