题目内容
(2012•达州)如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(-2,0),过点B和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.
(1)填空:点D的坐标为
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.
(3)若正方形和抛物线均以每秒
个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在y轴上时,正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围.
②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.
(1)填空:点D的坐标为
(-1,3)
(-1,3)
,点E的坐标为(-3,2)
(-3,2)
.(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.
(3)若正方形和抛物线均以每秒
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①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围.
②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.
分析:(1)构造全等三角形,由全等三角形对应线段之间的相等关系,求出点D、点E的坐标;
(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)本问非常复杂,须小心思考与计算:
①为求s的表达式,需要识别正方形(与抛物线)的运动过程.正方形的平移,从开始到结束,总共历时
秒,期间可以划分成三个阶段:当0<t≤
时,对应图(3)a;当
<t≤1时,对应图(3)b;当1<t≤
时,对应图(3)c.每个阶段的表达式不同,请对照图形认真思考;
②当运动停止时,点E到达y轴,点E(-3,2)运动到点E′(0,
),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了
个单位.由此得到平移之后的抛物线解析式,进而求出其顶点坐标.
(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)本问非常复杂,须小心思考与计算:
①为求s的表达式,需要识别正方形(与抛物线)的运动过程.正方形的平移,从开始到结束,总共历时
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1 |
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1 |
2 |
3 |
2 |
②当运动停止时,点E到达y轴,点E(-3,2)运动到点E′(0,
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2 |
3 |
2 |
解答:解:(1)由题意可知:OB=2,OC=1.
如图(1)所示,过D点作DH⊥y轴于H,过E点作EG⊥x轴于G.
易证△CDH≌△BCO,∴DH=OC=1,CH=OB=2,∴D(-1,3);
同理△EBG≌△BCO,∴BG=OC=1,EG=OB=2,∴E(-3,2).
∴D(-1,3)、E(-3,2).
(2)抛物线经过(0,2)、(-1,3)、(-3,2),
则
?
解得
,
∴y=-
x2-
x+2.
(3)①当点D运动到y轴上时,t=
.
当0<t≤
时,如图(3)a所示.
设D′C′交y轴于点F
∵tan∠BCO=
=2,又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2,即
=2
∵CC′=
t,∴FC′=2
t.?
∴S△CC′F?=
CC′•FC′=
t×2
t=5t2
当点B运动到点C时,t=1.
当
<t≤1时,如图(3)b所示.
设D′E′交y轴于点G,过G作GH⊥B′C′于H.
在Rt△BOC中,BC=
=
∴GH=
,∴CH=
GH=
∵CC′=
t,∴HC′=
t-
,∴GD′=
t-
∴S梯形CC′D′G?=
(
t-
+
t)
=5t-
当点E运动到y轴上时,t=
.
当1<t≤
时,如图(3)c所示
设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N
∵CC′=
t,B′C′=
,
∴CB′=
t-
,?∴B′N=2CB′=2
t-2
∵B′E′=
,∴E′N=B′E′-B′N=3
-2
t
∴E′M=
E′N=
(3
-2
t)
∴S△MNE′?=
(3
-2
t)•
(3
-2
t)=5t2-15t+
∴S五边形B′C′D′MN?=S正方形B′C′D′E′?-S△MNE′?=(
)2-(5t2-15t+
)=-5t2+15t-
综上所述,S与x的函数关系式为:
当0<t≤
时,S=5t2
当
<t≤1时,S=5t-
当1<t≤
时,S=-5t2+15t-
②当点E运动到点E′时,运动停止.如图(3)d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
=
∵OB=2,B′E′=BC=
∴
=
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+
=
∴E′(0,
)
由点E(-3,2)运动到点E′(0,
),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了
个单位.
∵y=-
x2-
x+2=y=-
(x+
)2+
?
∴原抛物线顶点坐标为(-
,
)
∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为(
,
).
如图(1)所示,过D点作DH⊥y轴于H,过E点作EG⊥x轴于G.
易证△CDH≌△BCO,∴DH=OC=1,CH=OB=2,∴D(-1,3);
同理△EBG≌△BCO,∴BG=OC=1,EG=OB=2,∴E(-3,2).
∴D(-1,3)、E(-3,2).
(2)抛物线经过(0,2)、(-1,3)、(-3,2),
则
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解得
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∴y=-
1 |
2 |
3 |
2 |
(3)①当点D运动到y轴上时,t=
1 |
2 |
当0<t≤
1 |
2 |
设D′C′交y轴于点F
∵tan∠BCO=
OB |
OC |
∴tan∠FCC′=2,即
FC′ |
CC′ |
∵CC′=
5 |
5 |
∴S△CC′F?=
1 |
2 |
1 |
2 |
5 |
5 |
当点B运动到点C时,t=1.
当
1 |
2 |
设D′E′交y轴于点G,过G作GH⊥B′C′于H.
在Rt△BOC中,BC=
22+12 |
5 |
∴GH=
5 |
1 |
2 |
| ||
2 |
∵CC′=
5 |
5 |
| ||
2 |
5 |
| ||
2 |
∴S梯形CC′D′G?=
1 |
2 |
5 |
| ||
2 |
5 |
5 |
5 |
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当点E运动到y轴上时,t=
3 |
2 |
当1<t≤
3 |
2 |
设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N
∵CC′=
5 |
5 |
∴CB′=
5 |
5 |
5 |
5 |
∵B′E′=
5 |
5 |
5 |
∴E′M=
1 |
2 |
1 |
2 |
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∴S△MNE′?=
1 |
2 |
5 |
5 |
1 |
2 |
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∴S五边形B′C′D′MN?=S正方形B′C′D′E′?-S△MNE′?=(
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综上所述,S与x的函数关系式为:
当0<t≤
1 |
2 |
当
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5 |
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当1<t≤
3 |
2 |
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②当点E运动到点E′时,运动停止.如图(3)d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
OB |
B′E′ |
BC |
E′C |
∵OB=2,B′E′=BC=
5 |
∴
2 | ||
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E′C |
∴CE′=
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2 |
∴OE′=OC+CE′=1+
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∴E′(0,
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由点E(-3,2)运动到点E′(0,
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∵y=-
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1 |
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3 |
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∴原抛物线顶点坐标为(-
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∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为(
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点评:本题是非常典型的动线型综合题,全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点,包括:二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换(平移)、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等.难点在于第(3)问,识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在.作为中考压轴题,本题涉及考点众多,计算复杂,因而难度很大,对考生综合能力要求很高,具有很好的区分度.
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