Question

如图1，在直角坐标系中，A点的坐标为（a，0），B点的坐标为（0，b），且a、b满足

a-b + a2-144

a+12

=0．
（1）求证：∠OAB=∠OBA．
（2）如图2，△OAB沿直线AB翻折得到△ABM，将OA绕点A旋转到AF处，连接OF，作AN平分∠MAF交OF于N点，连接BN，求∠ANB的度数．
（3）如图3，若D（0，4），EB⊥OB于B，且满足∠EAD=45°，试求线段EB的长度．

Answer 1

分析：（1）由

a-b + a2-144

a+12

=0，根据算术平方根的非负性，即可求得a与b的值，即可得OA=OB，即可证得结论；
（2）由折叠的性质可得四边形OAMB是正方形，即可得∠OBA=45°，又求得∠ONA=45°，即可得点O，A，M，B四点共圆，即可求得AB是直径，由圆周角定理，即可求得∠ANB的度数．
（3）连接AB，过点E作EF⊥AB于F，易求得∠EAF=∠OAD，即可得AF=3EF，继而求得△BEF是等腰直角三角形，由OA=OB，求得AB的长，继而求得EF的长，则可求得线段EB的长度．

解答：（1）证明：∵

a-b + a2-144

a+12

=0，
∴

a-b=0 a2-144=0 a+12≠0

，
解得：a=b=12，
∴A点的坐标为（12，0），B点的坐标为（0，12），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA；

（2）∵△OAB沿直线AB翻折得到△ABM，
∴OA=OB=AM=BM，
∴四边形OAMB是矩形，
∵∠BOA=90°，
∴四边形OAMB是正方形，
∴∠OBA=45°，
∵AN是∠MAF的平分线，
∴∠NAF=

1

2

∠MAF，
∵将OA绕点A旋转到AF处，
即OA=FA，
∴∠FOA=∠F，
∵∠FAE=∠FOA+∠F，
∴∠F=

1

2

∠FAE，
∴∠ONA=∠NAF+∠F=

1

2

∠MAF+

1

2

∠FAE=

1

2

（∠MAF+∠FAE）=45°，
∴∠OBA=∠ONA，
∴点O，A，N，B共圆，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴∠ANB=90°；

（3）连接AB，过点E作EF⊥AB于F，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
即∠OAD+∠BAD=45°，
∵∠EAD=45°，
∴∠BAD+∠EAF=45°，
∴∠OAD=∠EAF，
∵点D（0，4），
∴OD=4，
∴tan∠EAF=tan∠OAD=

OD

OA

=

1

3

，
在Rt△FAE中，∠EFA=90°，
∴tan∠EAF=

EF

AF

=

1

3

，
∴AF=3EF，
∵BE⊥OB，
∴∠EBF=45°，
∵∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠EBF=45°，
∴BF=EF，
∴AB=AF+BF=4EF，
∵OA=OB=12，
∴AB=12

2

，
∴EF=3

2

，
∴EB=

2

EF=3

2

×

2

=6．

点评：此题考查了折叠的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、分式有意义的条件、正方形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、四点共圆、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠与旋转中的对应关系，注意数形结合思想的应用．