题目内容

如图①．直线y=x-3与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A在x轴负半轴上，且
OA
OC
=
1
3
．抛物线经过A、B、C三点，点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接PC、PB（如图①），△PBC是否有最大面积？若有，求出△PBC的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由；
（3）D为线段AB中点，连结DP交BC于点E．连结AC（如图②），若以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．直接写出此时点P的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）利用交点式求出二次函数解析式即可；
（2）求出△PBC的最大面积，可以联系二次函数的最值问题，分割图形求出即可；
（3）利用①当DE∥AC，则△BDE∽△BAC，②当∠BED=∠BAC，△BDE∽△BCA，进而求出P点坐标．
解答：解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得-3a=-3，
解得a=1．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．

（2）如图①所示：
作PF⊥x轴于点F，设△PBC的面积为S，则
S=S四边形OCPF+S△PFB-S△OBC
=
1
2
（3-n）m+
1
2
（3-m）（-n）-
1
2
×3×3，
=
3
2
m-
3
2
n-
9
2
，
又∵点P是抛物线上的点，
且m＞0，n＜0
∴n=m2-2m-3（0＜m＜3）
∴S=-
3
2
m2+
9
2
m
=-
3
2
（m-
3
2
）2+
27
8

∴当m=
3
2
时，△PBC的面积最大，最大面积为
27
8
，
把x=m=
3
2
代入y=x2-2x-3=（
3
2
）2-2×
3
2
-3=-
15
4
，
此时P点坐标为（
3
2
，-
15
4
）；

（3）分两种情况：
①当DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴
BD
AB
=
BE
EC
，
∵D为AB中点，
∴E点为BC中点，
∴E（
3
2
，-
3
2
）
∴设DE所在解析式为：y=kx+b，
∴
k+b=0
3
2
k+b=-
3
2
，
解得：
k=-3
b=3
，
∴DE所在解析式为：y=-3x+3，
则-3x+3=x2-2x-3，
解得：x1=2，x2=-3（不合题意舍去），
∴P1（2，-3）；
②当∠BED=∠BAC，
∴△BDE∽△BCA，
同理可得出：P2（
5
，2-2
5
），
综上所述：P点坐标为：（2，-3），（
5
，2-2
5
）．
点评：此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数最值问题，利用分类讨论得出是解题关键，综合性比较强．
练习册系列答案
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已知：一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2，则x1+x2-x1x2的值为（　　）
A、-6B、6C、2D、-2
当x为何值时，代数式
x+1
3
的值与
2-x
2
的值的和等于2？
解方程
（1）
1
x-1
-
2
x-4
=0
（2）
1
x-1
+
1
x-2
=
2
x
．
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，
（1）求证：BE=DC．
（2）若∠BAC=60°，求∠BOC的度数．
（1）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AEC，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD、ME、MF、MG．则线段MD与ME之间的数量关系是
 

（2）如图2，若将（1）中“在等腰△ABC中，AB=AC”改为“在任意△ABC中”，其他条件不变，此时（1）中的结论成立吗？请说明理由；
（3）如图3，在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作Rt△ADB、Rt△AEC，使∠DBA=∠ECA，M是BC的中点，连接MD、ME，此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
如图，B，E，C，F四点在一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：AC∥DF．
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AC⊥BC．
（1）求证：△ADC∽△BCA；
（2）若AB=9cm，AC=6cm，求梯形ABCD中位线的长度．
计算下列各式
（1）
8
×
3
÷
16

（2）2
12
-
1
27
+
48

（3）
27
+
3
3
-2
（4）
4
9
+
1
9
-
3-
8
27
+(
3
-1)0
（5）
3
(
6
-2
15
)-
6
2

（6）(2+
5
)(
5
-3)
（7）(
3
-
1
3
)2
（8）(
6
-
2
)2(
2
+
6
)2
（9）(3-2
2
)2×(3+2
2
)2
（10）(
2
+
3
-
6
)×(
2
-
3
+
6
)．

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