Question

（1）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AEC，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD、ME、MF、MG．则线段MD与ME之间的数量关系是

 

（2）如图2，若将（1）中“在等腰△ABC中，AB=AC”改为“在任意△ABC中”，其他条件不变，此时（1）中的结论成立吗？请说明理由；
（3）如图3，在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作Rt△ADB、Rt△AEC，使∠DBA=∠ECA，M是BC的中点，连接MD、ME，此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由三角形的中位线的性质和直角三角形的性质就可以得出△DFM≌△EGM而得出结论；
（2）连接FM，GM，由三角形的中位线的性质和直角三角形的性质就可以得出△DFM≌△MGE而得出结论；
（3）取AB和AC的中点F、G，连接DF、MF，GE、GM，由直角三角形的性质和三角形的中位线的性质据可以得出∠DFM=∠MGE，就可以得出△DFM≌△MGE，从而得出结论．

解答：解：（1）∵△ADBADB和和△AEC是等腰直角三角形，BFDF⊥AB，EG⊥ACAC，
∴∠DFB=∠EGC=90°，AF=BF，AG=CG，DF=

1

2

AB，EG=

1

2

AC．
∵AB=AC，
∴DF=EG．
∵M是BC的中点，
∴FM、GM△ABC的中位线，
∴FM∥AC，FM=

1

2

AC，GM∥AB，GM=

1

2

AB．
∴∠BFM=∠BAC，∠CGM=∠BAC，
∴∠BFM=∠CGM．
∴∠BFM+∠DFB=∠CGM+∠EGC，
∴∠DFM=∠EGM．
∵AB=AC，
∴FM=GM．
在△DFM和△EGM中

DF=EG ∠DFM=∠EGM FM=GM

，
∴△DFM≌△EGM（SAS），
∴MD=ME；

（2）MD=ME成立．
连接FM，GM，
∵△ADBADB和和△AEC是等腰直角三角形，BFDF⊥AB，EG⊥ACAC，
∴∠DFA=∠EGA=90°，AF=BF，AG=CG，DF=

1

2

AB，EG=

1

2

AC．
∵M是BC的中点，
∴FM、GM△ABC的中位线，
∴FM∥AC，FM=

1

2

AC，GM∥AB，GM=

1

2

AB．
∴∠MFA+∠BAC=180°，∠MGA+∠BAC=180°，DF=MG，MF=EG
∴∠MFA=∠MGA，
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA+∠EGA，
∴∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中

DF=MG ∠DFM=∠MGE MF=EG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME；

（3）MD=ME成立
理由：取AB和AC的中点F、G，连接DF、MF，GE、GM，
∵△ADADB和△AECCAEC是直角三角形，且点F、G是AB和AC的中点，
∴DF=BF=AF=

1

2

AB，EG=CG=AG=

1

2

AC．
∴∠DBA=∠FDB，∠ECA=∠GCE．
∵∠AFD=∠DBA+∠FDB，∠AGE=∠ECA+∠GCE，
∴∠AFD=2∠DBA，∠AGE=2∠ECA．
∵∠DBA=∠ECA，
∴2∠DBA=2∠ECA，
∴∠AFD=∠AGE．
∵M是BC的中点，
∴FM、GM△ABC的中位线，
∴FM∥AC，FM=

1

2

AC，GM∥AB，GM=

1

2

AB．
∴∠MFA+∠BAC=180°，∠MGA+∠BAC=180°，DF=MG，MF=EG
∴∠MFA=∠MGA，
∴∠MFA+∠AFD=∠MGA+∠AGE，
∴∠MFD=∠EGM．
在△DFM和△MGE中

DF=MG ∠DFM=∠MGE MF=EG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．