Question

1．在△ABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上，且△ACD为等腰三角形，则BD=4或5或$\frac{14}{5}$．

Answer 1

分析 分三种情况进行讨论计算，①用线段的差即可，②先判断出DE是△ABC的中位线，③利用相似三角形的性质即可．

解答 解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，
①如图1，

当AD=AC时，即：AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
②如图2，

当AD=CD时，
过点D作DE⊥AE，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴ED∥CB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=5；
③如图3，

当CD=AC时，
即：CD=AC=6，
过点C作CE⊥AD于E，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，
∴AD=2AE，
∵∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AE=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{18}{5}$，
∴AD=2AE=$\frac{36}{5}$，
∴BD=AB-AD=$\frac{14}{5}$．
故答案为：4，5，$\frac{14}{5}$．

点评 此题是勾股定理，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是画出满足条件的图形，也是解本题的难点．