Question

2．已知抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A、B两点，交y轴于C点，顶点为P．
（1）求四边形OAPC的面积；
（2）判断△PCA的形状，并说明埋由；
（3）△COB与△PCA相似吗？如果相似，请证明：如果不相似，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接用坐标轴上，点的特点和顶点坐标公式即可；再用坐标系中几何图形的面积计算方法直接计算即可；
（2）用勾股定理逆定理直接判断即可；
（3）用三边对应成比例，两三角形相似判断即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+2x+3交x轴于A、B两点，交y轴于C点，
∴A（3，0），B（-1，0），C（0，3），顶点P（1，4），
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
∴当x=1时，y=2，
∴S_{四边形OAPC}=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（4-2）×1+$\frac{1}{2}$（4-2）×2=$\frac{15}{2}$；
（2）由（1）知，A（3，0），C（0，3），P（1，4），
∴AC²=18，AP²=4+16=20，CP²=2，
∴AP²=AC²+CP²，
∴△ACP是直角三角形，
（3）△COB∽△ACP．
证明：由（2）知，AC=3$\sqrt{2}$，AP=2$\sqrt{5}$，CP=$\sqrt{2}$，
由（1）知，B（-1，0），C（0，3），
∴OB=1，OC=3，BC=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{CP}{OB}=\sqrt{2}$，$\frac{AC}{OC}=\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$，$\frac{AP}{BC}=\sqrt{2}$
∴$\frac{CP}{OB}=\frac{AC}{OC}=\frac{AP}{BC}$，
∴△COB∽△ACP．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，和顶点坐标公式，几何图形面积的计算方法，勾股定理逆定理，相似三角形的判定，是一道比较简单的数形结合的题目．