题目内容
20、如图，凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+AD．求证：ABCD是平行四边形．分析：采用反证法证明，假设ABCD不是平行四边形，设AB＞CD．在AB边上取点E，使AE=CD，得到平行四边形AECD，推出AD=CE，根据已知得出EB+BC=CE，根据三角形的三边关系定理即可推出答案．
解答：证明：假设ABCD不是平行四边形，即AB≠CD，
不妨设AB＞CD．在AB边上取点E，使AE=CD，则AECD是平行四边形，
∴AD=CE，
由AB+BC=CD+AD，
即（AB+EB）+BC=CD+AD，
∴EB+BC=CE，与三角形不等式EB+BC＞CE矛盾，
因此，ABCD必是平行四边形．
不妨设AB＞CD．在AB边上取点E，使AE=CD，则AECD是平行四边形，
∴AD=CE，
由AB+BC=CD+AD，
即（AB+EB）+BC=CD+AD，
∴EB+BC=CE，与三角形不等式EB+BC＞CE矛盾，
因此，ABCD必是平行四边形．
点评：本题主要考查对三角形的三边关系定理，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能正确运用反证法进行说理是解此题的关键．
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