Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CAB＝2∠CBF

(1)求证：直线BF是⊙O的切线；

(2)若BC＝2，sin∠CBF，求BF的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)BF3．

【解析】

（1）连接AE，欲证BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；（2）过点C作CG⊥AB于G，利用三角函数求得AB，从而算出AE，然后利用等面积法得到CG，从而算出AG，利用△ACG∽△AFB，，算出BF即可

(1)证明：连接AE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠1+∠2＝90°．

∵AB＝AC，

∴∠1∠CAB．

∵∠CBF∠CAB，

∴∠1＝∠CBF

∴∠CBF+∠2＝90°

即∠ABF＝90°

∵AB是⊙O的直径，

∴直线BF是⊙O的切线；

(2)解：过点C作CG⊥AB于G．

∵sin∠CBF，∠1＝∠CBF，

∴sin∠1，

∵BC＝2，

∴BE＝CE，

∴AB＝AC＝6，

∴AE，

∴CG2，

∴AG4，

∵CG∥BF，

∴△ACG∽△AFB，

∴，

∴BF3．