Question

15．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）若点A（-3，y₁）、点B（-$\frac{1}{2}$，y₂）、点C（$\frac{7}{2}$，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（4）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₁＜-1＜5＜x₂．其中正确结论的序号是①④．

Answer 1

分析 由抛物线的对称轴方程得到b=-4a＞0，则可对①进行判断；由于x=-3时，y＜0，则可对②进行判断；

解答 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2，
∴b=-4a＞0，即4a+b=0，所以①正确；
∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2，图象与x轴交于（-1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∵点A（-3，y₁）、点B（-$\frac{1}{2}$，y₂）、点C（$\frac{7}{2}$，y₃），
∵$\frac{7}{2}$-2=$\frac{3}{2}$，2-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$＜$\frac{5}{2}$
∴点C离对称轴的距离近，
∴y₃＞y₂，
∵a＜0，-3＜-$\frac{1}{2}$＜2，
∴y₁＜y₂
∴y₁＜y₂＜y₃，故（4）错误．
如图，∵a＜0，
∴（x+1）（x-5）=-3/a＞0，
即（x+1）（x-5）＞0，
故x＜-1或x＞5，故（5）正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．