Question

【题目】如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．

（1）求二次函数的解析式和直线的解析式；

（2）点是直线上的一个动点，过点作轴垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于、的点，使中边上的高？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线，直线AD

（2）PM的最大值是 ，（3）存在，

【解析】

（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得A，D点坐标，利用待定系数法可求得直线AD解析式； （2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

解： （1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为，

∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，

∴，解得a=-1，

∴抛物线解析式为，即，

∵点D在y轴上，令x=0可得y=3， ∴D点坐标为（0，3），

令，得，所以

∴可设直线AD解析式为y=kx+3，

把A点坐标代入可得－k+3=0，解得k=3，

∴直线AD解析式为；

（2）因为B（3，0），D（0，3），所以直线BD为，

设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，-m+3），，

∴PM=，

∴当m=时，PM有最大值；

3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q，则G，

∴QG=，

∵△BOD是等腰直角三角形， ∴∠DBO=45°， ∴∠HGQ=∠BGE=45°，

当△BDQ中BD边上的高为 时，即QH=HG=，

∴QG=， ∴，

当时，△=9-16＜0，方程无实数根，

当时，解得x=-1或x=4，

∴Q（-1，0）或（4，-5），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．