Question

12．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O，交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）E是线段AC上一动点，试问当点E运动到什么位置时，直线ED与⊙O相切，请写出你的思路．

Answer 1

分析 （1）首先连接CD，由BC为直径，可得∠BDC=90°，然后由勾股定理求得AB的长，再利用等积法，求得答案；
（2）由ED与⊙O相切，得∠EDO=ECO=90°，又由ED，EC是切线长，可得CD⊥EO，CD⊥AB，证得AB∥EO，可得E是AC 的中点．即可知点E运动到AC中点时时，直线ED与⊙O相切．

解答 解：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径
∴∠CDB=90°，
在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5（cm），
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}CD•AB$，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
又在Rt△ADC中，AD²=AC²-CD²，
∴AD=$\sqrt{9-{{（\frac{12}{5}）}^2}}=\frac{9}{5}$（cm）；

（2）如图，连接ED，EO，
∵ED与⊙O相切，
∴∠EDO=ECO=90°，
∴ED，EC是切线长，
∴CD⊥EO，
∵CD⊥AB，
∴AB∥EO，
∴CO：OB=CE：AE，
∵OC=OB，
∴AE=CE，
即E是AC 的中点．
∴E在AC的中点处，直线ED 与⊙O相切．

点评 此题考查了切线的性质与判定、切线长定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．