Question

1．对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）=ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若L（x，y）=x+3y，则L（2，1）=5，L（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）=3；
（2）已知L（1，-2）=-1，L（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）=2．
①a=3，b=2；
②若正格线性数L（m，m-2），求满足50＜L（m，m-2）＜100的正格数对有多少个；
③若正格线性数L（x，y）=76，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用题意计算进而求出答案；
（2）①利用已知得出关于a，b的等式求出答案；
②根据题意列不等式组即可得到结论；
③根据题意列方程和不等式组即可得到结论．

解答 解：（1）∵L（x，y）=x+3y，
∴L（2，1）=2+3×1=5，L（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}×$3=3，
故答案为：5，3；
（2）①∵L（x，y）=ax+by，L（1，-2）=-1，L（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2b=-1}\\{\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b=2}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故答案为：3，2；
②由（2）知，L（m，m-2）=3m+2（m-2）=5m-4，
∵50＜L（m，m-2）＜100，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5m-4＞50}\\{5m-4＜100}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{54}{5}$＜m＜$\frac{104}{5}$，
∵m和m-2均为为正整数，
∴满足50＜L（m，m-2）＜100的正格数对有10个；
③由L（x，y）=3x+2y=76得y=$\frac{76-3x}{2}$，
∵x＞0，y＞0，即$\frac{76-3x}{2}$＞0，
∴0＜x＜25$\frac{1}{3}$，
∵x，y均为为正整数，
∴x为偶数，
∴共有12个满足这样的正格数，
若x，y满足②，则x-y=2，即x-$\frac{76-3x}{2}$=2，
解得：x=16，
∴y=x-2=14，
∴在这些正格数对中，有满足问题②的数对，为$\left\{\begin{array}{l}{x=16}\\{y=14}\end{array}\right.$．

点评 此题主要考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，以及新定义，根据题意得出正确等式是解题关键．