Question

如图，在半径为2的⊙A中，点E为优弧

BEC

的中点，圆心角∠BAC等于60°，在

EC

上有一动点D（不与点C重合），且点D到弦BC所在直线的距离为x．
（1）求弦BC的长；
（2）求阴影部分的面积y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）试分析比较阴影部分的面积y与扇形ABC的面积S的大小关系．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据∠BAC的度数，我们可得出△BAC应是个等边三角形，那么BC的长就是半径的长．
（2）在（1）中已经求得了BC的长，又知道了D到BC的距离也就是BC上的高，那么可根据三角形的面积计算公式得出y，x的函数关系式．如果过A作AH⊥BC于H，那么x的最大值就是AH+半径的长，那么可在直角△AHB中求出AH的长也就求出了x的取值范围．
（3）先计算出扇形BAC的面积，然后根据y与S的大小关系的不同得出不同的自变量的取值范围即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°
∴△BAC是等边三角形
∴BC=AB=2；

（2）如图，过点A作AH⊥BC于H点，则BH=

1

2

BC=1．
y=S_△DBC+S_扇形ABC-S_△ABC=

1

2

•2x+

60π×22

360

-

1

2

×2×2×sin60°=x+

2

3

π-

3

，
即y=x+

2

3

π-

3

．
在Rt△ABH中，由勾股定理得到：AH²=AB²-BH²=3
∴AH=

3

，
∴0＜x≤2+

3

；

（3）y-S=x-

3

．
当x=

3

时，y-S=0，则y=S；
当0＜x＜

3

时，y-S＜0，则y＜S；
当x＞

3

时，y-S＞0，则y＞S．

点评：本题主要考查了圆的综合题．解题时，利用了勾股定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及扇形面积的计算．解（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解．