Question

19．抛物线y=x²-（2a+1）x+a-1与x轴的两个交点分别位于点（1，0）的两旁，则a的取值范围为a＞-1．

Answer 1

分析 设抛物线y=x²-（2a+1）x+a-1与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，因为α、β是关于x的方程x²-（2a+1）x+a-1=0的两个不相等的实数根，所以由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=a-1，再根据抛物线y=x²-（2a+1）x+a-1与x轴的两个交点分别位于点（1，0）的两旁可得α＜1，β＞1，进而可求出a的取值范围．

解答 解：∵抛物线y=x²-（2a+1）x+a-1与x轴的两个交点在（1，0）两旁，
∴关于x的方程x²-（2a+1）x+a-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，
即：（2a+1）²-4（a-1）＞0，
整理得：4a²+5＞0，
∴a为任意实数①．
设抛物线y=x²-（2a+1）x+a-1与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，
则α、β是关于x的方程x²-（2a+1）x+a-1=0的两个不相等的实数根，
由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=a-1，
∵抛物线y=x²-（2a+1）x+a-1与x轴的两个交点分别位于点（1，0）的两旁，
∴α＜1，β＞1，
∴（α-1）（β-1）＜0，
∴αβ-（α+β）+1＜0，
∴（a-1）-（2a+1）+1＜0，
解得：a＞-1②，
由①、②得m的取值范围是a＞-1，
故答案为：a＞-1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax²+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根即△＜0．