Question

9．数学课中，李老师提出了下面问题：已知正数x，y满足x²+y²=16，求xy的最大值．
（1）为了求xy的最大值，小王想到了直角三角形，把问题转化为已知直角三角形的斜边求面积最大值的问题，请你画出图形，写出转化后问题的“已知”和“求”；
（2）一个直角三角形的斜边固定时，它的直角顶点是可以变化的，请画出问题（1）中直角三角形的直角顶点的所有可能位置所组成的图形，猜想（1）中问题的结论并证明结论；
（3）拓展：根据上述思考，你能进一步求出x+y的最大值和最小值吗？

Answer 1

分析 （1）根据正数x，y满足x²+y²=16，构造Rt△ABC，∠C=90°，斜边AB=4，两条直角边分别为x和y，求△ABC面积的2倍是最大值；
（2）问题（1）中直角三角形的直角顶点的所有位置组成的图形是以AB为直径的圆（A，B两点除外），过C作CE⊥AB，根据垂径定理，得到CD=$\frac{1}{2}$CE，再根据CE的最大值为直径的长4，得到CD的最大值是半径2，即当点D与圆心O重合，即x=y时，△ABC面积最大，最大值为4，据此判断即可；
（3）根据x+y=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}$，以及xy的最大值是8，求得x+y≤$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，即可得出x+y的最大值是4$\sqrt{2}$，没有最小值．

解答 解：（1）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=4，求：△ABC面积的2倍是最大值；


（2）问题（1）中直角三角形的直角顶点的所有位置组成的图形是以AB为直径的圆（A，B两点除外），
如图所示，过C作CE⊥AB，

根据垂径定理，CD=$\frac{1}{2}$CE，
∵AB=4，
∴当CD最大时，△ABC面积最大．
又∵CE的最大值为直径的长4，
∴CD的最大值是半径2，
即当点D与圆心O重合，即x=y时，△ABC面积最大，最大值为4，
∴当x=y=2$\sqrt{2}$时，xy有最大值8．

（3）∵x+y=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}$，而xy的最大值是8，
∴x+y≤$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，
∴x+y的最大值是4$\sqrt{2}$，没有最小值．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理以及垂径定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆和直角三角形．解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．