题目内容
17．如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标：
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=$\frac{1}{4}$S△MAB？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点C是x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE，正方形BCDE除点B外还有一个顶点在抛物线上，请求出满足条件的点D的坐标；
（4）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象（如图3），请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围．
分析 （1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y=0求得图象与x轴的交点坐标；
（2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；
（3）根据题意，不妨设C点的坐标为（m，0），点E在抛物线y=x2-2x-3上．当BC为正方形BCDE的边时，则E点的坐标为（m，m2-2m-3），根据正方形的边长相等，BC=DE列出关于m的方程，求解即可．
（4）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．
解答 解：（1）∵M（1，-4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，
∴y=（x-1）2-4=x2-2x-3，
当x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．
∴A、B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；
（2）在二次函数的图象上存在点P，使S△PAB=$\frac{1}{4}$SMAB
设P（x，y），则S△PAB=$\frac{1}{2}$|AB||y|，又S△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|×|-4|=8，
∴2|y|=$\frac{1}{4}$×8，即y=±1，
∵二次函数的最小值为-4，
∴y=±1．
当y=1时，x=1+$\sqrt{5}$或x=1-$\sqrt{5}$．
∴P点坐标为（1+$\sqrt{5}$，1）或（1-$\sqrt{5}$，1）；
当y=-1时，x=1+$\sqrt{3}$，x=1-$\sqrt{3}$，
P点坐标为（1+$\sqrt{3}$，-1）或（1-$\sqrt{3}$，-1）；
综上所述：P点坐标为（1+$\sqrt{5}$，1），（1-$\sqrt{5}$，1），（1+$\sqrt{3}$，-1），（1-$\sqrt{3}$，-1）；
（3）不妨设点E在抛物线y=x2-2x-3上，C点的坐标为（m，0）．
当BC为正方形BCDE的边时，则E点的坐标为（m，m2-2m-3）．
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC=DE，
∴|m-3|=|m2-2m-3|，
即m-3=m2-2m-3，或m-3=-（m2-2m-3），
解得m1=0，m2=3，或m1=-2，m2=3，
当m=3时，C点与B点重合，不合题意，舍去，
∴E点的坐标为（0，0）或（-2，0），则B1（3，4），B2（3，-4），
（4）如图3
，
依题意知，当-1≤x≤3时，翻折后的抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
与直线y=x+b与新抛物线有1个交点时，-x2+2x+3=x+b，即x2-x-3-b=0，
则△=（-1）2-4×（-3-b）=0，
解得 b=$\frac{13}{4}$
当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+b=0，
可得b=1，
由题意可知y=x+b在y=x+1的下方．
由图可知符合题意的b的取值范围1≤b≤$\frac{13}{4}$．
故答案是：1≤b≤$\frac{13}{4}$．
点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，中点坐标公式，两点间的距离公式，正方形的性质，综合性较强，难度较大，其中（3）进行分类讨论是解题的关键．
某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要640元．| A． | 0.129×105 | B． | 1.29×104 | C． | 12.9×103 | D． | 129×102 |
