如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象.其顶点坐标为M．(1)求出图象与x轴的交点A.B的坐标:(2)在二次函数的图象上是否存在点P.使S△PAB=$\frac{1}{4}$S△MAB?若存在.求出P点的坐标.若不存在.请说明理由,(3)点C是x轴上一动点.以BC为边作正方形BCDE.正方形BCDE除点B外还有一个顶点在抛物线上.请求出满足条件的点D的坐标,(4)将� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标：
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=$\frac{1}{4}$S_△MAB？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点C是x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE，正方形BCDE除点B外还有一个顶点在抛物线上，请求出满足条件的点D的坐标；
（4）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象（如图3），请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围．

分析（1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y=0求得图象与x轴的交点坐标；
（2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；
（3）根据题意，不妨设C点的坐标为（m，0），点E在抛物线y=x²-2x-3上．当BC为正方形BCDE的边时，则E点的坐标为（m，m²-2m-3），根据正方形的边长相等，BC=DE列出关于m的方程，求解即可．
（4）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．

解答解：（1）∵M（1，-4）是二次函数y=（x+m）²+k的顶点坐标，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
当x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3．
∴A、B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；

（2）在二次函数的图象上存在点P，使S_△PAB=$\frac{1}{4}$S_MAB
设P（x，y），则S_△PAB=$\frac{1}{2}$|AB||y|，又S_△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|×|-4|=8，
∴2|y|=$\frac{1}{4}$×8，即y=±1，
∵二次函数的最小值为-4，
∴y=±1．
当y=1时，x=1+$\sqrt{5}$或x=1-$\sqrt{5}$．
∴P点坐标为（1+$\sqrt{5}$，1）或（1-$\sqrt{5}$，1）；
当y=-1时，x=1+$\sqrt{3}$，x=1-$\sqrt{3}$，
P点坐标为（1+$\sqrt{3}$，-1）或（1-$\sqrt{3}$，-1）；
综上所述：P点坐标为（1+$\sqrt{5}$，1），（1-$\sqrt{5}$，1），（1+$\sqrt{3}$，-1），（1-$\sqrt{3}$，-1）；
（3）不妨设点E在抛物线y=x²-2x-3上，C点的坐标为（m，0）．
当BC为正方形BCDE的边时，则E点的坐标为（m，m²-2m-3）．
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC=DE，
∴|m-3|=|m²-2m-3|，
即m-3=m²-2m-3，或m-3=-（m²-2m-3），
解得m₁=0，m₂=3，或m₁=-2，m₂=3，
当m=3时，C点与B点重合，不合题意，舍去，
∴E点的坐标为（0，0）或（-2，0），则B₁（3，4），B₂（3，-4），

（4）如图3，
依题意知，当-1≤x≤3时，翻折后的抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
与直线y=x+b与新抛物线有1个交点时，-x²+2x+3=x+b，即x²-x-3-b=0，
则△=（-1）²-4×（-3-b）=0，
解得 b=$\frac{13}{4}$
当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+b=0，
可得b=1，
由题意可知y=x+b在y=x+1的下方．
由图可知符合题意的b的取值范围1≤b≤$\frac{13}{4}$．
故答案是：1≤b≤$\frac{13}{4}$．