Question

【题目】如图，已知D是⊙O上一点，AB是直径，∠BAD的平分线交⊙O于点E，⊙O的切线BC交OE的延长线于点C，连接OD，CD．

（1）求证：CD⊥OD．

（2）若AB＝2，填空：

①当CE＝　 　时，四边形BCDO是正方形．

②作△AEO关于直线OE对称的△FEO，连接BF，BE，当四边形BEOF是菱形时，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①﹣1；②CE＝1．

【解析】

（1）证出∠DAE＝∠OEA，得出，由圆周角定理证出∠BOC＝∠BAD＝∠DOC，证明△ODC≌△OBC（SAS），得出∠ODC＝∠OBC＝90°，即可得出结论；
（2）①求出，由（1）得∠OBC＝90°，△ODC≌△OBC，由勾股定理得出，得出OB＝BC＝DC＝OD，证出四边形BCDO是菱形，由∠OBC＝90°，即可得出结论；
②由菱形的性质得出BE＝OE＝1，得出∠EOB＝∠EBO，证出∠BCE＝∠CBE，即可得出CE＝BE＝1．

（1）∵BC是⊙O的切线，

∴BC⊥OB，

∴∠OBC＝90°，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠DAE＝∠BAE，

∵OA＝OE，

∴∠BAE＝∠OEA，

∴∠DAE＝∠OEA，

∴，

∴∠BOC＝∠BAD，

∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝2∠BAD，

∴∠BOC＝∠BAD＝∠DOC，

在△ODC和△OBC中，，

∴△ODC≌△OBC（SAS），

∴∠ODC＝∠OBC＝90°，

∴CD⊥OD；

（2）①当CE＝﹣1时，四边形BCDO是正方形；理由如下：

∵AB＝2，

∴OB＝OE＝OD＝1，

∴OC＝OE+CE＝，

由（1）得：∠OBC＝90°，△ODC≌△OBC，

∴DC＝BC＝＝＝1，

∴OB＝BC＝DC＝OD，

∴四边形BCDO是菱形，

∵∠OBC＝90°，

∴四边形BCDO是正方形；

故答案为：﹣1；

②如图所示：

∵△AEO与△FEO关于直线OE对称，

∴OF＝OA，

∴F在⊙O上，

∵四边形BEOF是菱形，

∴BE＝OE＝1，

∴∠EOB＝∠EBO，

∵∠EOB+∠BCE＝90°，∠EBO+∠CBE＝90°，

∴∠BCE＝∠CBE，

∴CE＝BE＝1．