如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∠BCD=30°.BC=26cm.CD=8cm.AD=16cm.动点P从点B出发.沿射线BC的方向以每秒3cm的速度运动到C点返回.动点Q从点A出发.在线段AD上以每秒1cm的速度向D运动.点P.Q分别从点B.A同时出发.当点Q运动到点D时.点P随之停止运动.设运动时间为t(秒)(1)当t为何值时.四边形PQDC是平行四边形?(2)当t为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=30°，BC=26cm，CD=8cm，AD=16cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒3cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向D运动，点P、Q分别从点B、A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）
（1）当t为何值时（0＜t＜$\frac{26}{3}$），四边形PQDC是平行四边形？
（2）当t为何值时，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm²？
（3）是否存在点P，使△PCD是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，如不存在，请说明理由

分析（1）根据运动得出PC=26-3t，DQ=16-t，进而用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
（2）先求出梯形的高DH，再分两种情况用梯形的面积建立方程求解即可；
（3）分点P是从点B向点C运动的过程中和点P到达点C返回点B时，每种情况又分点D为直角顶点和点P为直角顶点，用勾股定理即可得出结论．

解答解：（1）由运动知，BP=3t，AQ=t，
∵BC=26cm，AD=16cm，
∴PC=26-3t，DQ=16-t，
∵四边形PQDC是平行四边形，且AD∥BC，
∴PC=DQ，
∴26-3t=16-t，
∴t=5，
即：t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）过点D作DH⊥BC，
在Rt△CDH中，∠BCD=30°，CD=8，
∴DH=4，CH=4$\sqrt{3}$，
如图，①当点P是从点B向点C运动，
由（1）知，PC=26-3t，DQ=16-t，
∵以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm²，
∴S_{四边形CDQP}=$\frac{1}{2}$（DQ+CP）×DH=$\frac{1}{2}$（16-t+26-3t）×4=36，
∴t=6，②当点P是从点C返回点B时，
由运动知，DQ=16-t，CP=3t-26，
∵以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm²，
∴S_{四边形CDQP}=$\frac{1}{2}$（DQ+CP）×DH=$\frac{1}{2}$（16-t+3t-26）×4=36，
∴t=14，∴当t为6秒或14秒时，以C、D、Q、P为顶点的四边形面积等于36cm²；
（3）①当点P从点B向点C运动时，
∵△PCD是直角三角形，
Ⅰ、点D是直角顶点，如图2，
在Rt△CDP中，∠BCD=30°，CD=8，
∴cos30°=$\frac{CD}{CP}$，
∴CP=$\frac{CD}{cos30°}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴26-3t=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{26}{3}-\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
Ⅱ、当点P为直角顶点时，如图3，
在Rt△CPD中，∠BCD=30°，CD=8，
∴CP=4$\sqrt{3}$，
∴26-3t=4$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{26}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
②当点P是从点C返回点B时，
Ⅰ、当点D为直角顶点时，CP=3t-26=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{26}{3}+\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
Ⅱ、当点P为直角顶点时，CP=3t-26=4$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{26}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即：△PCD是直角三角形时，t的值为$\frac{26}{3}-\frac{16\sqrt{3}}{9}$或$\frac{26}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{26}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{26}{3}+\frac{16\sqrt{3}}{9}$．