Question

16．如图，己知点A（1，$\sqrt{3}$）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，连接OA，将线段OA绕点D顺时针方向旋转30°，得到线段OB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）判断点B是否在反比例函数图象上，并说明理由；
（3）设直线AB的解析式为y=ax+b，请直接写出不等式ax+b-$\frac{k}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出k=$\sqrt{3}$，于是得到反比例函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，在Rt△OAE中根据正切定义得到tan∠AOE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则∠AOE=30°，所以OA=2AE=2，再根据旋转的性质得∠AOB=30°，OB=OA=2，于是可计算出∠BOF=30°，接着在Rt△BOF中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BF=$\frac{1}{2}$OB=1，OF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$，则B（$\sqrt{3}$，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断点B（$\sqrt{3}$，1）是否在反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上；
（2）观察函数图象，写出反比例函数图象在直线AB上方所对应的自变量的范围即可．

解答 解：（1）∵点A（1，$\sqrt{3}$）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）点B在反比例函数图象上．理由如下：
作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，
在Rt△OAE中，∵AE=1，OE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOE=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOE=30°，OA=2AE=2，
∵线段OA绕点O顺时针方向旋转30°，得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOF=30°，
在Rt△BOF中，BF=$\frac{1}{2}$OB=1，
OF=$\sqrt{3}$BF=$\sqrt{3}$，
∴B（$\sqrt{3}$，1），
∵当x=$\sqrt{3}$时，y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$=1，
∴点B（$\sqrt{3}$，1）在反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上；
（2）0＜x＜1或x＞$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了旋转的性质和解直角三角形．