Question

双曲线y₁=

k

x

和y₂=

3k

x

（k＞0）在第一象限的图象如图所示，过y₂上的任意一点A作x轴的平行线交y₁于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y₁于D，交x轴于E，连结BD，CE，则有下列结论：
①BD∥CE；                
②S_{四边形ABOD}=2k；
③S_△ABD：S_{四边形BDEC}=4：5；  
④CB=DE；
⑤S_△ABD：S_BOD=1：2
其中正确的有

 

（填番号）．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：设E点坐标为（a，0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点D的坐标为（a，

k

a

），A点坐标为（a，

3k

a

），则AD=

2k

a

，AE=

3k

a

，所以AD：AE=2：3；再利用a表示C点坐标为（0，

3k

a

），B点坐标为（

a

3

，

3k

a

），则AB=

2a

3

，AC=a，则AB：AC=2：3，即AD：AE=AB：AC，可证出△BAD∽△CAE，所以∠ABD=∠ACE，利用平行线的判定即可得到BD∥CE；利用S_{四边形ABOD}=S_矩形AEOC-S_△BOC-S_△DOE和反比例函数的比例系数的几何意义可计算出S_{四边形ABOD}=2k；利用相似三角形的性质由△BAD∽△CAE，得到S_△ABD：S_△ACD=AD²：AE²=4：9，则运用比例的性质可得S_△ABD：S_{四边形BDEC}=4：5；由于BC=

a

3

，DE=

k

a

，则可判断BC与DE不一定相等；计算出S_△ABD=

1

2

AB•AD=

2k

3

，而S_{四边形ABOD}=2k，则可计算出S_△ABD：S_BOD=1：2．

解答：解：设E点坐标为（a，0），
∵点D在双曲线y₁=

k

x

上，点A在y₂=

3k

x

的图象上，AE⊥x轴，
∴点D的坐标为（a，

k

a

），A点坐标为（a，

3k

a

），
∴AD=

3k

a

-

k

a

=

2k

a

，AE=

3k

a

，
∴AD：AE=2：3，
∵AC⊥y轴，
∴C点坐标为（0，

3k

a

），B点坐标为（

a

3

，

3k

a

），
∴AB=a-

a

3

=

2a

3

，AC=a，
∴AB：AC=2：3，
∴AD：AE=AB：AC，
而∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴BD∥CE，所以①正确；
S_{四边形ABOD}=S_矩形AEOC-S_△BOC-S_△DOE=3k-

1

2

k-

1

2

k=2k，所以②正确；
∵△BAD∽△CAE，
∴S_△ABD：S_△ACD=AD²：AE²=4：9，
S_△ABD：S_{四边形BDEC}=4：5，所以③正确；
∵BC=

a

3

，DE=

k

a

，
∴BC与DE不一定相等，所以④错误；
∵S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

•

2a

3

•

2k

a

=

2k

3

，
而S_{四边形ABOD}=2k，
∴S_△ABD：S_BOD=

2k

3

：（2k-

2k

3

）=1：2，所以⑤正确．
故答案为①②③⑤．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；会运用三角形相似的性质解决角相等的问题和有关面积的计算．