Question

19．进入三月以来重庆的气温逐渐回暖，羽绒服进入了销售淡季．为此重庆新世纪百货对的某品牌的A款羽绒服进行了清仓大处理．已知A款羽绒服的销售价格y（元）与第x天（1≤x≤10，且x为整数）之间的关系可用如表表示：

时间x（天）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
售价y（元/件）	550	500	450	400	350	300	300	300	300	300

在销售的前6天A款羽绒服的销售数量z₁（件）与第x天的关系式为z₁=20x+40（1≤x≤6，且x为整数）；后4天（7≤x≤10，且x为整数）的销售数量z₂（件）与第x天的关系如图所示
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出z₂与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若A款羽绒服的进价为每件200元，该专柜共有5个员工，每位员工每天的工资为100元．该专柜每天所需的固定支出为1000元，请结合上述信息，求出这10天内哪天的利润最大，并求出这个最大利润；
（3）在第（2）问的前提下，为了提高收益，减少库存，商场在第11天作出以下决定：第11～15天继续维持A款羽绒服的售价，结果每天的销售量均与第10天的持平；同时在第11～15天将B款羽绒服也作为促销商品，而且作为销售重点，已知B款羽绒服的进价仍为200元/件，销售价格比A款羽绒服取得最大利润当天的售价降低了a%，而每天销售量则比第10天A款羽绒服的销量提高了2a%．结果最后5天A、B两款羽绒服的总利润为27100元，请你参考以下数据，计算出a的值．
（参考数据：2.5²=6.25，2.6²=6.76，2.7²=7.29，2.8²=7.84）

Answer 1

分析 （1）根据表格数据，可得出y与x的函数关系式，设z₂=kx+b，将点（7，80），（10，20）代入可得出z₂与x的函数关系式；
（2）利用二次函数及一次函数的性质，分别得出当1≤x≤6时，7≤x≤10时利润的最大值，比较即可得出答案；
（3）根据最后5天A、B两款羽绒服的总利润为27100元，可列出方程，解出即可估算出a的值．

解答 解：（1）当1≤x≤6时，y=-50x+600
当7≤x≤10时，y=300；
故可得y=$\left\{\begin{array}{l}{-50x+600（1≤x≤6）}\\{300（7≤x≤10）}\end{array}\right.$；
当7≤x≤10时，z₂=kx+b，
将点（7，80），（10，20）代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{7k+b=80}\\{10k+b=20}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-20}\\{b=220}\end{array}\right.$，
故z₂=-20x+220；
（2）当1≤x≤6时，
w=（-50x+600-200）（20x+40）-1000-500
=-1000x²+6000x+14500
=-1000（x-3）²+23500，
当x=3时，w取得最大，w_最大=23500；
当7≤x≤10时，
w=（300-200）（-20x+220）-1000-500
=-2000x+20500
因为-2000＜0，所以w随x的增大而减小
所以当x=7时，w取得最大，w_最大=6500，
综上所述，第3天利润最大，最大利润为23500元．
（3）由题意得，5{20×（300-200）+[450（1-a%）-200]•20（1+2a%）-1500}=27100，
令a%=t，
整理得：18t²-t-0.08=0，
△=6.76，
解得：t$≈\frac{1+2.6}{36}$=0.1或t$≈\frac{1-2.6}{36}$（不合题意，舍去）
所以a=10．

点评 本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及分段函数的知识，解答本题的关键是熟练掌握配方法求二次函数最值，难度较大．