Question

13．已知：如图，△ABC中，点P，Q分别是∠BAC的平分线AD，边AB上的两个动点，∠C=α，BC=6．
（1）若α=45°，求PB+PQ的最小值．
（2）若α=70°，求PB+PQ的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1，过B作BF⊥AC于F，过P作PQ⊥AB于Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PF，这时PB+PQ有最小值，即BF的长度，运用勾股定理求出BF，即PB+PQ的最小值；
（2）如图2，同理可求得PB+PQ的最小值是6sin70°．

解答 解：（1）如图1，过B作BF⊥AC于F，交AD于P，过P作PQ⊥AB于Q，
∵AD平分∠BAC，
∴PF=PQ，此时PB+PQ为最小，即为BF的长，
∵∠BFC=90°，∠ACB=α=45°，
∴BF=FC，
∵BC=6，
∴BF²+FC²=BC²，
∴BF=$±3\sqrt{2}$，
∴PB+PQ的最小值为3$\sqrt{2}$；
（2）如图2，过F作BF⊥AC于F，过P作PQ⊥AB于Q，
同理可知：BF=PB+PQ，且此时BF就是PB+PQ的最小值；
在Rt△BFC中，sin70°=$\frac{BE}{BC}$
∴BE=BC•sin70°=6sin70°
即PB+PQ的最小值是6sin70°．

点评 本题主要考查了轴对称--最短路径问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．