Question

【题目】直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E为平面内一点．

(1)如图①，探究∠AME，∠MEN，∠ENC的数量关系，并说明理由；

(2)如图②，∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；

（3）如图③，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，直接写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系(用含m的式子表示)．

Answer 1

【答案】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，见解析；（2）∠FEQ=15°；（3）∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．

【解析】

（1）过点E作l∥AB，利用平行线的性质可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代换可得结论；
（2）利用角平分线的性质可得∠NEF=∠MEN，∠ENP=∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN=∠ENP=∠ENC，由（1）的结论可得∠MEN=∠AME+∠ENC，等量代换得出结论；
（3）由已知可得∠EMN=∠BMN，∠GEN=∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM=∠ENM=

∠AMN，因为∠GEH=∠GEM-∠HEM，等量代换得出结论．

解：(1)过点E作l∥AB，

∵AB∥CD，∴l∥AB∥CD

∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE．

∵∠MEN=∠1+∠2，

∴∠MEN=∠AME+∠ENC；

（2）∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，

∴∠NEF=∠MEN，∠ENP=∠ENC．

∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=∠ENC．

由（1）可得∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°．

∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=（∠MEN-∠ENC）=×30°=15°；

(3)∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．理由如下：

∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，

∴∠EMN=∠AMN，∠GEM=∠GEK．

∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=∠AMN．

∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=∠GEK-∠AMN，

∴m∠GEH=∠GEK-∠AMN．

∵∠BMN+∠AMN=180°，

∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．