Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．
（1）求证：AB⊥AE．
（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出∠BCD=∠ACE，进而利用SAS得出△CBD≌△CAE求出即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出∠ADC=90°，再得出四边形ADCE是矩形，结合正方形的判定方法得出即可．

解答 （1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△CBD与△CAE中，∵$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠CAE，
∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；

（2）证明：∵点D为AB中点，
∴∠ADC=90°，
∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形．

点评 此题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出∠BCD=∠ACE是解题关键．