Question

19．如图，菱形ABCD的顶点A，D，C均在⊙O上，且BC边与⊙O相切于点C．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AB=6，求劣弧AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得OC⊥BC，再理由菱形的性质得BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得点O到AB的距离等于OC，于是利用直线与圆的位置关系可判定AB与⊙O相切；
（2）连接OA，如图，由AB与⊙O相切得到OA⊥AB，再利用菱形的性质得∠ABC=∠ADC，利用圆周角定理得到∠AOC=2∠ADC，则可计算出∠ABC=60°，∠AOC=120°，所以•∠OBA=30°，然后计算出半径OA后利用弧长公式求解．

解答 解：（1）AB与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵BC边与⊙O相切于点C．、
∴OC⊥BC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC，
∴点O到AB的距离等于OC，
∴AB与⊙O相切；

（2）连接OA，如图，
∵AB与⊙O相切，
∴OA⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠AOC=2∠ADC，
而∠ABC+∠AOC=180°，
∴∠ABC=60°，∠AOC=120°，
∴∠OBA=30°，
在Rt△ABO中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴劣弧AC的长=$\frac{120•π•2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的位置关系和菱形的性质．