Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜$\frac{8}{5}$）．
（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为1s；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）在运动过程中，当⊙O与直线MN在正方形MNPQ外部相切时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由△DQC≌△DQP，推出DP=DC=6，在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，推出PB=4即可解决问题．
（2）如图2中，作MT⊥BC于T，由等腰三角形三线合一得：TQ=$\frac{1}{2}$（8-5t），证明△QTM∽△BCD，列比例式得$\frac{QM}{BD}$=$\frac{TQ}{BC}$，代入可得方程，解方程即可；
（3）由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB，根据sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵∠DQC=∠QDP，QD=QD，∠DCQ=∠DPQ=90°，
∴△DQC≌△DQP，
∴DP=DC=6，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴PB=4，
∴t=1，
故答案为1s；  

（2）如图2中，作MT⊥BC于T，

∵MC=MQ，MT⊥CQ，
∴TC=TQ，
由于BP=4t，△ADB∽△PBQ，
∴$\frac{PB}{AD}$=$\frac{PQ}{AB}$，即PQ=$\frac{PB•AB}{AD}$=3t，
∵四边形PQMN为正方形，
∴QM=PQ=3t，
又BQ=$\sqrt{P{B}^{2}+P{Q}^{2}}$=5t
∴TQ=$\frac{1}{2}$（8-5t），
∵MQ∥PN，
∴∠MQT=∠DBC，
∴△QTM∽△BCD，
∴$\frac{QM}{BD}$=$\frac{TQ}{BC}$，即$\frac{3t}{10}$=$\frac{\frac{1}{2}（8-5t）}{8}$，
解得t=$\frac{40}{49}$
∴t=$\frac{40}{49}$s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形； 

（3）设MN与⊙O相切于点F，与CD交于点E，则OF=0.8，

由题意∠OEF=∠DEN=∠ADB，
∴sin∠OEF=sin∠DEN=sin∠ADB=3：5，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{0.8}{OE}$=$\frac{3}{5}$，
∴OE=$\frac{4}{3}$，
当⊙O与直线MN在正方形MNPQ外部相切时，如图3所示，
∵OD=3t，∴DE=3t+$\frac{4}{3}$，
∵BP=4t，NP=PQ=3t，
∴DN=10-7t，
∴$\frac{10-7t}{3t+\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{23}{22}$，
即当⊙O与直线MN在正方形MNPQ外部相切时，t的值是$\frac{23}{22}$s．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键灵活运用这些知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，充分利用相似三角形的性质构建方程，属于中考压轴题．