Question

如图，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AB=3，BC=9，试求CF的长；
（3）在（2）的条件下，试求EF的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）证明∠AFE=∠CFE；进而证明∠AEF=∠CFE，即可解决问题．
（2）根据勾股定理列出关于CF的方程，解方程，即可解决问题．
（3）证明AC⊥EF，此为解题的关键；求出AC的长度；借助面积公式即可解决问题．

解答：解：（1）由题意得：
∠AFE=∠CFE；
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
（2）由题意得：∠B=90°，AF=CF（设为x），
则BF=9-x；根据勾股定理得：x²=3²+（9-x）²，
解得：x=5，即CF=5．
（3）如图，连接AC、CE．
由题意知：AC⊥EF；
由勾股定理得：CA²=3²+9²=90，
∴AC=3

10

；根据面积公式：
CF•AB=

1

2

AC•EF，
∴EF=

10

．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．