题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求OA的长度，并求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△BMP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）若P为直线AB上的一点，且△BMP为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据勾股定理，可得OA的长，根据菱形的性质，可得OC的长，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：0≤t＜2.5，2.5＜t≤5，根据速度与时间的关系，可得PB的长，根据三角形的面积公式，可得函数解析式；
（3）根据等腰三角的定义，分类讨论：BM=PM，BM=PB，PB=PM，根据两点间的距离相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
解答：解：（1）在直角三角形AOH中，由勾股定理，得
AO=
AH2+OH2
=
32+42
=5，
由点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，得
OC=OA=AB=5，即C（5，0）
设直线AC的解析式y=kx+b，函数图象过点A、C，得
5k+b=0
-3k+b=4
，解得
k=-
1
2
b=
5
2
，
直线AC的解析式y=-
1
2
x+
5
2
；
（2）设M到直线BC的距离为h，
当x=0时，y=
5
2
，即M（0，
5
2
），
HM=HO-OM=4-
5
2
=
3
2
，
由S△ABC=S△AMB+SBMC，
1
2
AB•OH=
1
2
AB•HM+
1
2
BC•h，
1
2
×5×4=
1
2
×5×
3
2
+
1
2
×5h，
解得h=
5
2
，
①当0≤t＜
5
2
时，BP=BA-AP=5-2t，HM=OH-OM=
3
2
，
s=
1
2
BP•HM=
1
2
×
3
2
（5-2t）=-
3
2
t-
15
4
，
②当2.5＜t≤5时，BP=2t-5，h=
5
2

S=
1
2
BP•h=
1
2
×
5
2
（2t-5）=
5
2
t-
25
4
；
（3）①当BM=PM时，即MH垂直平分PB，
PH=BH=BA-HA=5-3=2，即P1（-2，4）；
②当BM=PB时，设P（a，4），|5-a|=
HM2+BH2
=
5
2
，
解得a=
5
2
或a=
15
2
，即P2（
5
2
，4），P3（
15
2
，4）；
③当PB=PM时，|5-a|=
a2+(4-
5
2
)2
，
平方，得a2-10a+25=a2+
9
4
．
解得a=
91
40
，即P4（
91
40
，4），
综上所述：P1（-2，4），P2（
5
2
，4），P3（
15
2
，4），P4（
91
40
，4）．
点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了勾股定理求线段，待定系数法求函数解析式，（2）分类讨论，利用了三角形的面积公式；（3）分类讨论，利用了等腰三角形的定义，两点间的距离公式．
练习册系列答案
相关题目
计算：（-
n
m
）-3．
画出函数y=x2-4x+7的图象．
如图，△ABD和△CBD都是等边三角形，点E从A出发向D运动（但不与点A、D重合），同时点F以相同的速度从D出发向C运动（但不与点D、C重合）．
（1）试猜想BE、BF的大小关系，并说明理由；
（2）试说明点E从A向D运动的过程中四边形BEDF面积的变化情况，并说明理由．
计算：（a-2）（a-1）=
 
．
问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，若三角形三边长分别记为BC=a，AC=b，AB=c，内切圆半径记为r，现有小尧和小淇对半径进行计算．下面是两位同学简要的解答过程：
小尧同学解法：
分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，∴CD=CE，AE=AF，BD=BF，∠OEC=∠ODC=90°，∵∠C=Rt∠，CD=CE，∴四边形CDOE是正方形，∴CD=CE=r，AE=b-r=AF，BD=a-r=BF，∵BF+AF=AB=c，∴（a-r）+（b-r）=c；
小淇同学解法：
分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD=OE=OF，∴S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB=
1
2
BC•DO+
1
2
AC•OE+
1
2
AB•FO=
1
2
（BC+AC+AB）•OD，∵∠C=90°，∴
1
2
ab=
1
2
（a+b+c）•r，∴r=
a+b-c
2
∴r=
ab
a+b+c

（1）知识理解：
对于两位同学的解法，正确的判断是
 

A．两人都正确  B．两人都错误  C．小尧正确，小淇错误  D．小尧错误，小淇正确
（2）方法延伸：
如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，⊙O与AB相切于点D，且AD=7，BD=3，求△ABC的面积．
（3）应用拓展：
如图3，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A（0，8），B（-6，0），C（15，0）．若△ABC内心为D，则点D的坐标为
 
．（直接写出结果）
下列计算错误的是（　　）
A、x6÷x-2=
1
x2
B、x2÷x6=x2
C、（x-1y-2）-3=x3y6
D、x9•x-9=1
若
2a
a2-2a
=
2
a-2
，则（　　）
A、a＞0B、a≠0且a≠2
C、a＜0D、a≠2
如图，将长方形纸片ABCD沿着EF折叠，使得点C与点A重合．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AB=3，BC=9，试求CF的长；
（3）在（2）的条件下，试求EF的长．

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