题目内容
【题目】如图1，四边形
为正方形，点
在
轴上，点
在
轴上，且
，
，反比例函数
在第一象限的图象经过正方形的顶点
．
（1）求点的坐标和反比例函数的关系式．
（2）如图2，将正方形沿轴向右平移 个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象．
（3）在（2）的情况下，连接
并延长，交反比例函数的图象于点
，点
是轴上的一个动点(不与点
、重合)
①当点的坐标为多少时，四边形
是矩形?请说明理由．
②过点作
轴于点
，请问当点的坐标为多少时，
与
相似?(直接写出答案)．
【答案】（1）
，
；（2）3；（3）①
见解析；②
的坐标为
或
或
【解析】
（1）过点
作
轴于点
，由全等三角形的判定定理可得出
，再由全等三角形的性质可求出
的长，进而得出点坐标．把点坐标代入反比例函数
即可得出其解析式；
（2）根据
可知
，再把
代入反比例函数的解析式求出
的值即可；
（3）①先根据点
与点
关于原点对称，再根据勾股定理求出
的长，由矩形的对角线相等即可得出点坐标；
②设
，再根据
与
两种情况进行分类讨论．
解：（1）如图1所示，过点作轴于点，则
，
∵四边形
为正方形，
，
，
，
又∵
，
，
，
，
，
，
点的坐标为
．
将
代入，得
，解得
，
反比例函数的关系式为：；
（2）∵，
，
当时，
，
将正方形沿轴向右平移3个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上．
故答案为：3；
（3）①当点的坐标为
时，四边形
是矩形．
理由如下：
∵由（2）知
，
，双曲线上各点关于原点对称，
∵点与点关于原点对称，
，
，
又∵
，
四边形是平行四边形，
又∵
，
四边形是矩形；
②∵，
，
，
设，
当时，
，即
，
解得：
或
，
，
或
，；
当时，
∵
，
，
，
故点的坐标为
，或，或
．
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