Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OACB是平行四边形，A、B两点的坐标分别为（2，﹣4），（﹣4，0），抛物线Q经过O、A、B三点，D是抛物线Q的顶点．

（1）求抛物线Q的解析式及顶点D的坐标；

（2）将抛物线Q和平行四边形OACB一起先向左平移4个单位后，再向上平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线Q′和平行四边形O′A′C′B′，在向下平移的过程中，设平行四边形O′A′C′B′与平行四边形OACB的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线Q′的顶点为G，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线Q′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点所有的M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)   D（－2，）

    (2)

    (3)抛物线Q’的解析式为，G点(－6，)　　

当N点在x轴上方时，N点(－8，2)或(－4，2)　M点(－4，0)或(0，0)

当N点在x轴下方时，N点(－10，－2)或(－2，－2)　M点(－14，0)或(－6，0)

　　故M点坐标为(－4，0)，(0，0)， (－14，0)或(－6，0)