Question

17．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=2∠C．
（1）若∠C=38°，则∠ABD=33°；
（2）求证：BC=AB+AD；
（3）求证：BC²=AB²+AB•AC．

Answer 1

分析 （1）在BC上截取BE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=AD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证；
（2）由（1）知：△ABD≌△BED，根据全等三角形对应边相等可得DE=AD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，等量代换得到EC=AD，即得答案BC=BE+EC=AB+AD；
 （3）为了把∠A=2∠C转化成两个角相等的条件，可以构造辅助线：在AC上取BF=BA，连接AE，根据线段的垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理的推论能够证明AB=F．再根据勾股定理表示出BC²，AB²．再运用代数中的公式进行计算就可证明．

解答 解：（1）在BC上截取BE=BA，如图1，
在△ABD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BA}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BED，
∴∠BED=∠A，
∵∠C=38°，∠A=2∠C，
∴∠A=76°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠A=66°，
BD平分∠ABC，
∴∠ABD=33°；

（2）由（1）知：△ABD≌△BED，
∴BE=AB，DE=AD，∠BED=∠A，
又∵∠A=2∠C，
∴∠BED=∠C+∠EDC=2∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∴EC=AD
∴BC=BE+EC=AB+AD；

（3）如图2，过B作BG⊥AC于G，
以B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于F，
则BF=BA，
在Rt△ABG和Rt△GBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△GBG，
∴AG=FG，
∴∠BFA=∠A，
∵∠A=2∠C，
∴∠BFA=∠FBC+∠C=2∠C，
∴∠FBC=∠C，
∴FB=FC，
FC=AB，
在Rt△ABG和Rt△BCG中，
BC²=BG²+CG²，
AB²=BG²+AG²
∴BC²-AB²=CG²-AG²=（CG+AG）（CG-AG）
=AC（CG-GF）=AC•FC
=AC•AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．