Question

如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接得到四边形A₁B₁C₁D₁，再取各边中点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，依此类推，这样得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为（　　）

• A．-

  16

  2n

• B．

  8

  2n-1

• C．-

  1

  2n-4

• D．不确定

Answer 1

分析：根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A₁B₁∥AC，A₁B₁=

1

2

AC，则△BA₁B₁∽△BAC，得△BA₁B₁和△BAC的面积比是相似比的平方，即

1

4

，因此四边形A₁B₁C₁D₁的面积是四边形ABCD的面积的

1

2

，依此类推可得四边形A_nB_nC_nD_n的面积．

解答：解：∵四边形A₁B₁C₁D₁的四个顶点A₁、B₁、C₁、D₁分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A₁B₁∥AC，A₁B₁=

1

2

AC，
∴△BA₁B₁∽△BAC，
∴△BA₁B₁和△BAC的面积比是相似比的平方，即

1

4

，
又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16，
∴S_A1B1C1D1=

1

2

×16，
∴四边形A_nB_nC_nD_n的面积=16×

1

2 n

=

8

2n-1

．
故选B．

点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．