Question

13．如图，已知正方形ABCD的边长是2厘米，E是CD边的中点，F在BC边上移动，当AE恰好平分∠FAD时，CF=$\frac{1}{2}$厘米．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明△ADE≌△AME，得到∠AED=∠AEM；同理可证∠MEF=∠CEF，进而证明△AEF为直角三角形，运用射影定理即可解决问题．

解答 解：如图，连接EF，过点E作EM⊥AF于点M；
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，且点E为DC的中点，
∴∠D=90°，DE=1；
∵AE平分∠FAD，
∴ME=DE=1；在△ADE与△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{DE=ME}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AME（HL），
∴∠AED=∠AEM，AM=AD=2，
同理可证：∠MEF=∠CEF，CF=MF；
∴∠AEF=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即△AEF为直角三角形，
∴ME²=AM•MF，而ME=1．AM=2，
∴MF=$\frac{1}{2}$，CF=MF=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，为运用射影定理创造条件．